エムデン方程式を記すと

(1.1)

である。また境界条件は

(1.2)

である。この方程式はnが0,1,5の場合は解が解析的に求められる。nが他の値の場合はルンゲクッタ法などの数値積分により解を求められる。そこでルンゲクッタ法を使ってエムデン方程式を解いてみる。まずエムデン方程式を以下のように変形する。

(1.3)

そして次のように変数変換を行う。

(1.4)

このような文字を選んだのは１次元の単振動の問題を解くプログラムを流用するためである。すると解くべき方程式は

(1.5)

である。さてtが0から計算を始めたいが、(1.5)式を見ると発散する項が出てきてしまう。これではコンピューターは扱えない。そこでtが非常に小さい値からスタートする。そこでtが微小な値のときのxとvの値がわからないといけない。そこでべき級数

(1.6)

をエムデン方程式(1.1)に入れて境界条件も用いて以下の式を出す。

(1.7)

ただし高次の項は無視した。よって初期値をt₀とするとxとvの初期値は

(1.8)

と求められる。ここまでくればパソコンでC言語などのプログラミング言語を用いて、ルンゲクッタ法を使って解ける。